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第1篇高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié) 第2篇人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié) 第3篇2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié) 第4篇2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié) 第5篇2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié) 第6篇高一數(shù)學(xué)必修二基礎(chǔ)知識點總結(jié) 第7篇高一數(shù)學(xué)必修二各章知識點總結(jié) 第8篇高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié) 第9篇高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié) 第10篇高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)：冪函數(shù)的性質(zhì)考點 第11篇高一數(shù)學(xué)必修一：各章知識點總結(jié) 第12篇2023年高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié) 第13篇高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié) 第14篇2023高一數(shù)學(xué)必修四知識點總結(jié) 第15篇北師大版高一數(shù)學(xué)必修1第一單元集合的含義與表示知識點總結(jié) 第16篇2023高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
【第1篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)范例
一、集合有關(guān)概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作：n
正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實數(shù)集r
1) 列舉法：{a,b,c……}
2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{_?r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=-5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能(1)a是b的一部分，;(2)a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2.“相等”關(guān)系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。a?a
②真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)
③如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.記作a b(讀作‘a(chǎn)交b’)，即a b={_|_ a，且_ b｝.
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，叫做a,b的并集.記作：a b(讀作‘a(chǎn)并b’)，即a b ={_|_ a，或_ b}).
設(shè)s是一個集合，a是s的一個子集，由s中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集(或余集)
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二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng)，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作： y=f(_)，_∈a.其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域.
注意：
1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的._的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象.c上每一點的坐標(biāo)(_，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_)，反過來，以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_，y)，均在c上 .
(2) 畫法
a、 描點法：
b、 圖象變換法
常用變換方法有三種
1) 平移變換
2) 伸縮變換
3) 對稱變換
4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
(2)無窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.映射
一般地，設(shè)a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合a中的任意一個元素_，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：a b為從集合a到集合b的一個映射。記作f：a→b
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.
補充：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i，如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1，_2，當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1，_2，當(dāng)_1f(_2)，那么就說f(_)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間d稱為y=f(_)的單調(diào)減區(qū)間.
注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);
(2) 圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法：
○1 任取_1，_2∈d，且_1
○2 作差f(_1)-f(_2);
○3 變形(通常是因式分解和配方);
○4 定號(即判斷差f(_1)-f(_2)的正負(fù));
○5 下結(jié)論(指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性).
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”
注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))
(1)偶函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(-_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2).奇函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(-_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱;
○2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;
○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-_) = f(_) 或 f(-_)-f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù);若f(-_) =-f(_) 或 f(-_)+f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù).
(2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;
(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .
9、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：
1) 湊配法
2) 待定系數(shù)法
3) 換元法
4) 消參法
10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值
○2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
【第2篇 人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
導(dǎo)語青春是一場遠(yuǎn)行，回不去了。青春是一場相逢，忘不掉了。但青春卻留給我們最寶貴的友情。友情其實很簡單，只要那么一聲簡短的問候、一句輕輕的諒解、一份淡淡的惦記，就足矣。當(dāng)我們在畢業(yè)季痛哭流涕地說出再見之后，請不要讓再見成了再也不見。這篇《人教版高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)》是高一頻道為你整理的，希望你喜歡！
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類：
(1)共面：平行、相交
(2)異面：
異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法
2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：
(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系：
直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點
②直線和平面相交——有且只有一個公共點
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點
直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。
多面體
1、棱柱
棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面)是平行四邊形
2、棱錐
棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì)：
(1)側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
3、正棱錐
正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì)：
(1)各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
兩個平面的位置關(guān)系
(1)兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點
(2)兩個平面的位置關(guān)系：
兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。
a、平行
兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。
兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。b、相交
二面角
(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。
(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]
(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩平面垂直
兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直
兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平
二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系)。
【第3篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
第一章 集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性如：世界上的山
（2）元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
（3）元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意：常用數(shù)集及其記法：_ kb 1.c om
非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n
正整數(shù)集 ：n_或 n+
整數(shù)集： z
有理數(shù)集： q
實數(shù)集： r
1）列舉法：{a,b,c……}
2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) venn圖:
4、集合的分類：
(1)有限集 含有有限個元素的集合
(2)無限集 含有無限個元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
2．“相等”關(guān)系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè) a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。a?a
② 真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)
③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c
④ 如果a?b 同時 b?a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集個數(shù)：
有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．記作a b（讀作‘a(chǎn)交b’），即a b=｛_|_ a，且_ b｝．
由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，叫做a,b的并集．記作：a b（讀作‘a(chǎn)并b’），即a b ={_|_ a，或_ b})．
設(shè)s是一個集合，a是s的一個子集，由s中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集（或余集）
記作 ，即
csa=
韋
恩
圖
示
性
質(zhì) a a=a
a φ=φ
a b=b a
a b a
a b b
a a=a
a φ=a
a b=b a
a b ａ
a b b
(cua) (cub)
= cu (a b)
(cua) (cub)
= cu(a b)
a (cua)=u
a (cua)= φ．
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1．函數(shù)的概念
設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng)，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù)．記作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域．
注意：
1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；
(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；
(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；
②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義：
在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象．c上每一點的坐標(biāo)(_，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_)，反過來，以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_，y)，均在c上 .
(2) 畫法
1.描點法： 2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對稱變換
4．區(qū)間的概念
（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 （2）無窮區(qū)間 （3）區(qū)間的數(shù)軸表示．
5．映射
一般地，設(shè)a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合a中的任意一個元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：a b為從集合a到集合b的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：a（原象） b（象）”
對于映射f：a→b來說，則應(yīng)滿足：
(1)集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個；
(3)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況．
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．
補充：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二．函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
（1）增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i，如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1，_2，當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1，_2，當(dāng)_1
注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；
（2） 圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a) 定義法：
（1）任取_1，_2∈d，且_1
（2）作差f(_1)－f(_2)；或者做商
（3）變形（通常是因式分解和配方）；
（4）定號（即判斷差f(_1)－f(_2)的正負(fù)）；
（5）下結(jié)論（指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調(diào)性）．
(b)圖象法(從圖象上看升降)
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”
注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.
8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）
（1）偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù)．
（2）奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù)．
（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．
9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；
○2確定f(－_)與f(_)的關(guān)系；
○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù)；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù)．
注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .
10、函數(shù)的解析表達(dá)式
（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法
11．函數(shù)（?。┲?/p>
○1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的（小）值
○2 利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>
○3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的（?。┲担?/p>
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b)；
如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b)；
第三章 基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ _．
負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。
當(dāng) 是奇數(shù)時， ，當(dāng) 是偶數(shù)時，
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
，
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
（1） · ；
（2） ；
（3） ．
（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中_是自變量，函數(shù)的定義域為r．
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1 0<1
定義域 r 定義域 r
值域y＞0 值域y＞0
在r上單調(diào)遞增 在r上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過定點（0，1） 函數(shù)圖象都過定點（0，1）
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) ；
（3）對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；
二、對數(shù)函數(shù)
（一）對數(shù)
1．對數(shù)的概念：
一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： （ — 底數(shù)， — 真數(shù)， — 對數(shù)式）
說明：○1 注意底數(shù)的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數(shù)的書寫格式．
兩個重要對數(shù)：
○1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ；
○2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) ．
指數(shù)式與對數(shù)式的互化
冪值 真數(shù)
＝ n ＝ b
底數(shù)
指數(shù) 對數(shù)
（二）對數(shù)的運算性質(zhì)
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 · ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：（1） ；（2） ．
（3）、重要的公式 ①、負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)； ②、 ， ③、對數(shù)恒等式
（二）對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．
○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ，且 ．
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a>1 0<1
定義域_＞0 定義域_＞0
值域為r 值域為r
在r上遞增 在r上遞減
函數(shù)圖象都過定點（1，0） 函數(shù)圖象都過定點（1，0）
（三）冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)．
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．
（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；
（2） 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時，冪函數(shù)的圖象上凸；
（3） 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當(dāng) 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．
第四章 函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。
2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標(biāo)。
即：方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點．
3、函數(shù)零點的求法：
○1 （代數(shù)法）求方程 的實數(shù)根；
○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．
4、二次函數(shù)的零點：
二次函數(shù) ．
（1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．
（2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．
（3）△＜０，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點．
5.函數(shù)的模型
【第4篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié)
高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
復(fù)習(xí)指南
1． 注重基礎(chǔ)和通性通法
在平時的學(xué)習(xí)中，應(yīng)立足教材，學(xué)好用好教材，深入地鉆研教材，挖掘教材的潛力，注意避免眼高手低，偏重難題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，輕視基礎(chǔ)知識和基本方法的不良傾向，當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時，應(yīng)注重一題多解的探索，經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。
2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
平時學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上，因為聽懂了不一定會，會了不一定對，對了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界：聽——懂——會——對——美。
我們今后要在第五種境界上下功夫，每年的高考結(jié)束，結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大，這就是其中的一個原因。
另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠，比如僅僅一點“規(guī)范答題”問題，我們老師也強調(diào)很多遍，但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進(jìn)去！
希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” ：
1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀
3. 注重應(yīng)用意識的培養(yǎng)
注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實際問題，提高數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的目的。
4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識并不是簡單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗，主動地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個創(chuàng)造的過程，一個批判、選擇、和存疑的過程，一個充滿想象、探索和體驗的過程。你不想學(xué)，老師強行的逼迫是不容易的或者說是作用不大，俗話說“強扭的瓜不甜”嘛！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對概念、結(jié)論和技能進(jìn)行記憶，積累和模仿，而且還要動手實踐，自主探索，并且在獲得知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行反思和修正。（這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí)，養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。）記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個定義：科學(xué)就是以懷疑和接納新知識作為進(jìn)步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問，仔細(xì)想來確實很有道理！
所以我們在平時學(xué)習(xí)中要注意反思，只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固，知識的得到拓展，能力得到提高，思維得到優(yōu)化，創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展，希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣！
5.注重平時的聽課效率
聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識，而且事半功倍，可以省好多的時間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時聽不到什么，索性就不聽，抓緊課堂上的每一點時間做題，多做幾道題，心里就踏實。這種認(rèn)識是不科學(xué)的，想象如果上課沒有用的話，國家還開辦學(xué)校干嘛？只要印刷課本就足夠了，學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時候參加考試就行了。
想想好多東西還是在課堂上聆聽的，聽聽老師對問題的分析和解題技巧，老師是如何想到的，與自己預(yù)習(xí)時的想法比較。課堂上記下比較重要的東西，更重要的是跟著老師的思路，注重老師對題目的分析過程。課后寧愿花時間去整理筆記，因為整理筆記實際上是一種知識的整合和再創(chuàng)造！回憶課堂上老師是怎樣講的，自己在整理時有比較好的想法，就記下來，抓住自己思維的火花，因為較為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。
在這里我再一次強調(diào)聽課要做到“五得”
? 聽得懂 ? 想得通 ? 記得住 ? 說得出 ? 用得上2
6. 注重思想方法的學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，它是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點之一。不少學(xué)者認(rèn)為：
“傳授知識”是數(shù)學(xué)的一種境界，加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界，再加上“方法滲透”是較高的境界，而再加上“提高修養(yǎng)（指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入）”則是境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法，它是數(shù)學(xué)的精髓，只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會，在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng)，從而使得自己的氣質(zhì)得以升華，它對于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義，再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。
真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助，果真如此，也就聊以欣慰了！
基本三角函數(shù)
ⅰ
ⅱ ? 終邊落在_軸上的角的集合：?????,??z?? 終邊落在y軸上的角的集合：????????????,??z????,??z?終邊落在與坐標(biāo)軸上的角的集合：??
?? 22????
360度?2? 弧度
l? r
?11s?l r?? r2
221???180.弧度
180 1 弧度?度180??? 弧度?倒數(shù)關(guān)系：sin?csc??1 正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
cos?sec??1
tan2??1?sec2?
平方關(guān)系：sin2??cos??1 21?cot2??csc2?
乘積關(guān)系：sin??tan?cos? ， 頂點的三角函數(shù)等于相鄰的點對應(yīng)的函數(shù)乘積
ⅲ 誘導(dǎo)公式? 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
sin???2k???sin? , k?z cos???2k???cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
?角?與角??關(guān)于_軸對稱sin??????sin?
cos?????cos?
tan??????tan?
?角???與角?關(guān)于y軸對稱sin??????sin?
cos???????cos?
tan???????tan? ?角???與角?關(guān)于原點對稱sin???????sin?
tan??????tan?cos???????cos?
?角?
2??與角?關(guān)于y?_對稱???sin
?????cos?cos??2?? ??????cos?????sin?
cos??????sin??2??2?
??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?
上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”
ⅳ 周期問題
?
2?y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t????y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??
y?asin??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b ?0 , t?2?y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?2?
2?y?acos??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b?0 , t?????t??y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 ,
?
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
??
y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
ⅴ 三角函數(shù)的性質(zhì)
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??怎樣由y?sin_變化為y?asin??_????k ？ 振幅變化：y?sin_左右伸縮變化：
y 左右平移變化 _??)
上下平移變化y?asin(?_??)?k
ⅵ平面向量共線定理：一般地，對于兩個向量 a,a?0,b,如果有
?
一個實數(shù)?,使得??,?,則與與是共線向量 那么又且只有一個實數(shù)?,使得??.
ⅶ 線段的定比分點
?
.
op?
??當(dāng)??1時 ?當(dāng)??1時
ⅷ 向量的一個定理的類似推廣
向量共線定理： ?? ??
?推廣
? 平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2?1122
??
?不共線的向量
?
?推廣
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空間向量基本定理： ?? 其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個123??
?不共面的向量???
ⅸ一般地，設(shè)向量??_1,y1?,??_2,y2?且?,如果∥那么_1y2?_2y1?0 反過來，如果_1y2?_2y1?0,則∥.
ⅹ 一般地，對于兩個非零向量a,b 有 ???，其中θ為兩向量的夾角。
cos??
?
_1_2?y1y2_1
2?
y1
2
_2
2
?
y2
2
特別的，??? ?
2
?
如果 ??_1,y1? , ??_2,y2? 且? , 則??_1_2?y1y2特別的 , a?b?_1_2?y1y2?0
? 若正n邊形a1a2???an的中心為o , 則oa1?oa2?????oan?
三角形中的三角問題
a?b?c ?a?b?c?? ,a?b?c??,?-2
2
2
2
2
?a?b??c?
sin?a?b??sin?c? cos?a?b???cos?c? sin???cos??
?2??2?
?a?b??c?cos???sin??
?2??2?
?正弦定理：
abca?b?c
???2r? sinasinbsincsina?sinb?sinc
余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosa , b2?a2?c2?2accosb c?a?b?2abcosc
2
2
2
b2?c2?a2a2?c2?b2cosa ?, cosb ?
2bc2ac
變形： 222
a?b?c
cosc ?2ab
?tana?tanb?tanc?tanatanbtanc
三角公式以及恒等變換
?兩角的和與差公式：sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)tan??tan?
, t(???)
1?tan?tan?tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?tan??????
?二倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?
2tan?
tan2??
1?tan2?
2
2
2
2
tan??tan??tan??????1?tan?tan??
變形： tan??tan??tan??????1?tan?tan??
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
其中?,?,?為三角形的三個內(nèi)角
?半角公式：
sin
?
2
??
1?cos2
?coscos??
22
2
?
tan
?
2
??
1?cossin?1?cos?
??
1?cos?1?cos?sin?
?降冪擴角公式：cos2??1?cos2?, sin2??1?cos2?
2
1
?sin??????sin??????21
?積化和差公式：cos?sin???sin??????sin??????
21
cos?cos???cos??????cos??????
21
sin?sin????cos??????cos??????
2
sin?cos????????????
sin??sin??2sin??cos??
22??????????????
sin??sin??2cos??sin??
?和差化積公式：?2??2?
?????????
cos??cos??2cos??cos?
?2??2?????????
cos??cos???2sin??sin?
?2??2
2tan
sin??
s?s?2sc
（ s?s?2cs）
c?c?2cc??c?c??2ss
?
???
?
1?tan2
2
?萬能公式:
1?tan2
cos??
1?tan2
?2
( s?t?c?? )
tan??
2tan
?
1?tan2
2
3
?三倍角公式：sin3??3sin??4sin?
3tan??tan3?
tan3??
31?3tan2?cos3??4cos??3cos?
“三四立，四立三，中間橫個小扁擔(dān)”
?
1. y?asin??bcos??
b
aa
2. y?acos??bsin??a2?b2sin????? 其中 , tan??
bb
? a2?b2cos????? 其中 , tan??ab
3. y?asin??bcos??a2?b2sin????? 其中 , tan??
aa
??a2?b2cos????? 其中 , tan??b
a2?b2sin????? 其中 , tan??
4. y?acos??bsin??
a2?b2sin?????
a
bb
?a2?b2cos????? 其中 , tan??a
注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進(jìn)而可以 ??a2?b2sin????? 其中 , tan??求解最值問題. 不需要死記公式,只要記憶 1. 的推導(dǎo)即表達(dá)技巧,其它的就可以直接寫出.
一般是表達(dá)式第一項是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握.
tan??tan?
, t(???)
? 補充： 1. 由公式 1?tan?tan?
tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?
tan??????
第8 / 10頁
可以推導(dǎo) ： 當(dāng)??????? 在有些題目中應(yīng)用廣泛。
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?r.
補充
1．常見三角不等式：（1）若_?(0,
(2) 若_?(0,
2
2
2
2
2
?
4
時, ??z , ?1?tan???1?tan???2
?
2
)，則sin_?_?tan_.
?
2
22
2. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);
)，則1?sin_?cos_?|sin_|?|cos_|?1.
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?
???)(輔助角?所在象限由點(a,b)的象限決定,
b
tan?? ).
a
3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin??4sin?sin(
3
?
??)sin(??). 33
?
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???
tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?33
4.三角形面積定理：（1）s?
??
111
aha?bhb?chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊222
上的高）.
111
absinc?bcsina?
casinb.(3)222
s?oab?5.三角形內(nèi)角和定理在△abc中，有a?b?c???c???(a?b)
c?a?b????2c?2??2(a?b).
222
（2）s?
6. 正弦型函數(shù)y?asin(?_??)的對稱軸為_?
k??
?
??
?
(k?z)；對稱中心
為(
k???
,0)(k?z)；類似可得余弦函數(shù)型的對稱軸和對稱中心； ?
第9 / 10頁
〈三〉易錯點提示： 1. 在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、
余弦函數(shù)的有界性了嗎？ 2. 在三角中，你知道1等于什么嗎？（
這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”
的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．
3. 你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次） 4. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？(
【第5篇 2023高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)集合有關(guān)概念
集合的含義
集合的中元素的三個特性：
元素的確定性如：世界上的山
元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}
元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
列舉法：{a,b,c……}
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{_(r|_-3>2},{_|_-3>2}
語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
venn圖:
4、集合的分類：
有限集含有有限個元素的集合
無限集含有無限個元素的集合
空集不含任何元素的集合例：{_|_2=-5｝
高一數(shù)學(xué)集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意：有兩種可能(1)a是b的一部分，;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系：a=b(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即：①任何一個集合是它本身的子集。a(a
②真子集:如果a(b,且a(b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果a(b,b(c,那么a(c
④如果a(b同時b(a那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
高一數(shù)學(xué)考試命題趨勢
1.函數(shù)知識：基本初等函數(shù)性質(zhì)的考查，以導(dǎo)數(shù)知識為背景的函數(shù)問題;以向量知識為背景的函數(shù)問題;從具體函數(shù)的考查轉(zhuǎn)向抽象函數(shù)考查;從重結(jié)果考查轉(zhuǎn)向重過程考查;從熟悉情景的考查轉(zhuǎn)向新穎情景的考查。
2.向量知識：向量具有數(shù)與形的雙重性，高考中向量試題的命題趨向：考查平面向量的基本概念和運算律;考查平面向量的坐標(biāo)運算;考查平面向量與幾何、三角、代數(shù)等學(xué)科的綜合性問題。
3.不等式知識：突出工具性，淡化獨立性，突出解，是不等式命題的新取向。高考中不等式試題的命題趨向：基本的線性規(guī)劃問題為必考內(nèi)容，不等式的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、二交函數(shù)等結(jié)合起來，考查不等式的性質(zhì)、最值、函數(shù)的單調(diào)性等;證明不等式的試題，多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，綜合性強，能力要求高;解不等式的試題，往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起。考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力;以當(dāng)前經(jīng)濟、社會生產(chǎn)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍將是高考的熱點，主要考查學(xué)生閱讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。
4.立體幾何知識：2023年已經(jīng)變得簡單，2023年難度依然不大，基本的三視圖的考查難點不大，以及球與幾何體的組合體，涉及切，接的問題，線面垂直、平行位置關(guān)系的考查，已經(jīng)線面角，面面角和幾何體的體積計算等問題，都是重點考查內(nèi)容。
5.解析幾何知識：小題主要涉及圓錐曲線方程，和直線與圓的位置關(guān)系，以及圓錐曲線幾何性質(zhì)的考查，極坐標(biāo)下的解析幾何知識，解答題主要考查直線和圓的知識，直線與圓錐曲線的知識，涉及圓錐曲線方程，直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，定點，定值，范圍的考查，考試的難度降低。
6.導(dǎo)數(shù)知識：導(dǎo)數(shù)的考查還是以理科19題，文科20題的形式給出，從常見函數(shù)入手，導(dǎo)數(shù)工具作用(切線和單調(diào)性)的考查，綜合性強，能力要求高;往往與公式、導(dǎo)數(shù)往往與參數(shù)的討論聯(lián)系在一起，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，但今年的難點整體偏低。
7.開放型創(chuàng)新題：答案不，或是邏輯推理題，以及解答題中的開放型試題的考查，都是重點,理科13，文科14題。
【第6篇 高一數(shù)學(xué)必修二基礎(chǔ)知識點總結(jié)
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱：
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺：
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱：
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐：
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺：
定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。
(7)球體：
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
【第7篇 高一數(shù)學(xué)必修二各章知識點總結(jié)
導(dǎo)語如果把高中三年去挑戰(zhàn)高考看作一次越野長跑的話，那么高中二年級是這個長跑的中段。與起點相比，它少了許多的鼓勵、期待，與終點相比，它少了許多的掌聲、加油聲。它是孤身奮斗的階段，是一個耐力、意志、自控力比拚的階段。但它同時是一個厚實莊重的階段，這個時期形成的優(yōu)勢有實力。高二頻道為你整理了《高一數(shù)學(xué)必修二各章知識點總結(jié)》，學(xué)習(xí)路上，為你加油！
第一章空間幾何體
1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)
1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖
閱讀與思考畫法幾何與蒙日
1.3空間幾何體的表面積與體積
探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積
實習(xí)作業(yè)
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
閱讀與思考?xì)W幾里得《原本》與公理化方法
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第三章直線與方程
3.1直線的傾斜角與斜率
探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯
3.2直線的方程
3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式
閱讀與思考笛卡兒與解析幾何
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
第四章圓與方程
4.1圓的方程
閱讀與思考坐標(biāo)法與機器證明
4.2直線、圓的位置關(guān)系
4.3空間直角坐標(biāo)系
信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓
小結(jié)
復(fù)習(xí)參考題
函數(shù)知識點
一、定義與定義式：
自變量_和因變量y有如下關(guān)系：
y=k_+b
則此時稱y是_的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是_的正比例函數(shù)。
即：y=k_(k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的_的變化值成正比例，比值為k
即：y=k_+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2.當(dāng)_=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式：y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與_軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨_的增大而增大;
當(dāng)k<0時，直線必通過二、四象限，y隨_的增大而減小。
當(dāng)b>0時，直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時，直線通過原點
當(dāng)b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)b=o時，直線通過原點o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k>0時，直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時，直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：
已知點a(_1，y1);b(_2，y2)，請確定過點a、b的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=k_+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個方程：y1=k_1+b……①和y2=k_2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補充)
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(_1-_2)
2.求與_軸平行線段的中點：|_1-_2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)
【第8篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識點總結(jié)
數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.
有向線段的三要素：起點、方向、長度.
零向量：長度為的向量.
單位向量：長度等于個單位的向量.
相等向量：長度相等且方向相同的向量
&向量的運算
加法運算
ab+bc=ac，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。
已知兩個從同一點o出發(fā)的兩個向量oa、ob，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb，則以o為起點的對角線oc就是向量oa、ob的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。
對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法滿足所有的加法運算定律。
減法運算
與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
數(shù)乘運算
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ >;0時，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ< 0時，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時，λa = 0。
設(shè)λ、μ是實數(shù)，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。
向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。
a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。
【第9篇 高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)
導(dǎo)語?高中階段學(xué)習(xí)難度、強度、容量加大，學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)及壓力明顯加重，不能再依賴初中時期老師“填鴨式”的授課，“看管式”的自習(xí)，“命令式”的作業(yè)，要逐步培養(yǎng)自己主動獲取知識、鞏固知識的能力，制定學(xué)習(xí)計劃，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。今天高一頻道為正在拼搏的你整理了《高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)》，希望以下內(nèi)容可以幫助到您！
1.高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)
空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類：
(1)共面：平行、相交
(2)異面：
異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)
esp.空間向量法
兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)
esp.空間向量法
2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：
(1)有且僅有一個公共點——相交直線;(2)沒有公共點——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系：
直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點
②直線和平面相交——有且只有一個公共點
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。
空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定：
a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，
b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]
最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點
直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。
2.高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)
⑴公差為d的等差數(shù)列,各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差仍為d.
⑵公差為d的等差數(shù)列,各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd.
⑶若{a}、為等差數(shù)列,則{a±b}與{ka+b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.
⑷對任何m、n,在等差數(shù)列{a}中有：a=a+(n-m)d,特別地,當(dāng)m=1時,便得等差數(shù)列的通項公式,此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性.
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數(shù),且l+k+p+…=m+n+r+…(兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等),那么當(dāng){a}為等差數(shù)列時,有：a+a+a+…=a+a+a+….
⑹公差為d的等差數(shù)列,從中取出等距離的項,構(gòu)成一個新數(shù)列,此數(shù)列仍是等差數(shù)列,其公差為kd(k為取出項數(shù)之差).
⑺如果{a}是等差數(shù)列,公差為d,那么,a,a,…,a、a也是等差數(shù)列,其公差為-d;在等差數(shù)列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)
⑻在等差數(shù)列中,從第一項起,每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項.
⑼當(dāng)公差d>0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大;當(dāng)d<0時,等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減小;d=0時,等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù).
⑽設(shè)a,a,a為等差數(shù)列中的三項,且a與a,a與a的項距差之比=(≠-1),則a=.
⑴數(shù)列{a}為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{a}的前n項和s可以寫成s=an+bn的形式(其中a、b為常數(shù)).
⑵在等差數(shù)列{a}中,當(dāng)項數(shù)為2n(nn)時,s-s=nd,=;當(dāng)項數(shù)為(2n-1)(n)時,s-s=a,=.
⑶若數(shù)列{a}為等差數(shù)列,則s,s-s,s-s,…仍然成等差數(shù)列,公差為.
⑷若兩個等差數(shù)列{a}、的前n項和分別是s、t(n為奇數(shù)),則=.
⑸在等差數(shù)列{a}中,s=a,s=b(n>m),則s=(a-b).
⑹等差數(shù)列{a}中,是n的一次函數(shù),且點(n,)均在直線y=_+(a-)上.
⑺記等差數(shù)列{a}的前n項和為s.①若a>0,公差d<0,則當(dāng)a≥0且a≤0時,s;②若a<0,公差d>0,則當(dāng)a≤0且a≥0時,s最小.
3.高一數(shù)學(xué)必修五知識點總結(jié)
1.函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想;
2.應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：
(1)根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題;
(2)根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題;
(3)方程思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想;
3.函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。
【第10篇 高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)：冪函數(shù)的性質(zhì)考點
高一數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)：冪函數(shù)的性質(zhì)考點
定義：
形如y=_^a（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；
如果a為負(fù)數(shù)，則_肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當(dāng)_為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：
在_大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在_小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì)：
對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^（p/q）=q次根號（_的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時，設(shè)a=-k，則_=1/（_^k），顯然_≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到_所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對于_>；0，則a可以是任意實數(shù)；
排除了為0這種可能，即對于_<；0和_>；0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對于_為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；
【第11篇 高一數(shù)學(xué)必修一：各章知識點總結(jié)
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第一章集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意啊：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬于集合a記作a∈a，相反，a不屬于集合a記作a?a
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式_-3>2的解集是{_?r|_-3>2}或{_|_-3>2}
4、集合的分類：
1.有限集含有有限個元素的集合
2.無限集含有無限個元素的集合
3.空集不含任何元素的集合例：{_|_2=-5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意：有兩種可能(1)a是b的一部分，;(2)a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2.“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”
結(jié)論：對于兩個集合a與b，如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何一個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等于集合b，即：a=b
①任何一個集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果aíb,bíc,那么aíc
④如果aíb同時bía那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義：一般地，由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作”a交b”)，即a∩b={_|_∈a，且_∈b}.
2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合，叫做a,b的并集。記作：a∪b(讀作”a并b”)，即a∪b={_|_∈a，或_∈b}.
3、交集與并集的性質(zhì)：a∩a=a,a∩φ=φ,a∩b=b∩a，a∪a=a,
a∪φ=a,a∪b=b∪a.
4、全集與補集
(1)補集：設(shè)s是一個集合，a是s的一個子集(即)，由s中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集(或余集)
記作：csa即csa={_|_?s且_?a}
s
csa
a
(2)全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用u來表示。
(3)性質(zhì)：⑴cu(cua)=a⑵(cua)∩a=φ⑶(cua)∪a=u
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應(yīng)，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù).記作：y=f(_)，_∈a.其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域;與_的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)|_∈a}叫做函數(shù)的值域.
注意：2如果只給出解析式y(tǒng)=f(_)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.
定義域補充
能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)
構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域
再注意：(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。
3.函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(_),(_∈a)中的_為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點p(_，y)的集合c，叫做函數(shù)y=f(_),(_∈a)的圖象.
c上每一點的坐標(biāo)(_，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(_)，反過來，以滿足y=f(_)的每一組有序?qū)崝?shù)對_、y為坐標(biāo)的點(_，y)，均在c上.即記為c={p(_,y)|y=f(_),_∈a}
圖象c一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2)畫法
a、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出_,y的一些對應(yīng)值并列表，以(_,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點p(_,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.
b、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。
4.快去了解區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.
5.什么叫做映射
一般地，設(shè)a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合a中的任意一個元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：ab為從集合a到集合b的一個映射。記作“f：ab”
給定一個集合a到b的映射，如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合a、b及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合a到集合b的對應(yīng)，它與從b到a的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：a→b來說，則應(yīng)滿足：(ⅰ)集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是的;(ⅱ)集合a中不同的元素，在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個;(ⅲ)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。
常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：
1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);2解析法：必須注明函數(shù)的定義域;3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.
注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值
補充一：分段函數(shù)(參見課本p24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.
補充二：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u),(u∈m),u=g(_),(_∈a),則y=f[g(_)]=f(_)，(_∈a)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
例如:y=2sin_y=2cos(_2+1)
7.函數(shù)單調(diào)性
(1).增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(_)的定義域為i，如果對于定義域i內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1，_2，當(dāng)_1
如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1，_2，當(dāng)_1
注意：1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì);
2必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量_1，_2;當(dāng)_1
(2)圖象的特點
如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.
(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法
(a)定義法：
1任取_1，_2∈d，且_1
(b)圖象法(從圖象上看升降)_
(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：
函數(shù)
單調(diào)性
u=g(_)
增
增
減
減
y=f(u)
增
減
增
減
y=f[g(_)]
增
減
減
增
注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎?
8.函數(shù)的奇偶性
(1)偶函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(-_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù).
(2)奇函數(shù)
一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內(nèi)的任意一個_，都有f(-_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù).
注意：1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個_，則-_也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).
(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征
偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.
總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;2確定f(-_)與f(_)的關(guān)系;3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-_)=f(_)或f(-_)-f(_)=0，則f(_)是偶函數(shù);若f(-_)=-f(_)或f(-_)+f(_)=0，則f(_)是奇函數(shù).
注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時判定f(-_)=±f(_)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-_)±f(_)=0或f(_)/f(-_)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.
9、函數(shù)的解析表達(dá)式
(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.
(2).求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法;已知復(fù)合函數(shù)f[g(_)]的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(_)
10.函數(shù)(小)值(定義見課本p36頁)
1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值2利用圖象求函數(shù)的(小)值3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值：如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b);如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b);
第二章基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.
當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù).此時，的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicale_ponent)，叫做被開方數(shù)(radicand).
當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±(>0).由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。
注意：當(dāng)是奇數(shù)時，，當(dāng)是偶數(shù)時，
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義
指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.
3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1)?;
(2);
(3).
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(e_ponential)，其中_是自變量，函數(shù)的定義域為r.
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>1
0
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
向_、y軸正負(fù)方向無限延伸
函數(shù)的定義域為r
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都在_軸上方
函數(shù)的值域為r+
函數(shù)圖象都過定點(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
圖象上升趨勢是越來越陡
圖象上升趨勢是越來越緩
函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快;
函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或;
(2)若，則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);
(3)對于指數(shù)函數(shù)，總有;
(4)當(dāng)時，若，則;
二、對數(shù)函數(shù)
(一)對數(shù)
1.對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：(—底數(shù)，—真數(shù)，—對數(shù)式)
說明：1注意底數(shù)的限制，且;
2;
3注意對數(shù)的書寫格式.
兩個重要對數(shù)：
1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù);
2自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).
對數(shù)式與指數(shù)式的互化
對數(shù)式指數(shù)式
對數(shù)底數(shù)←→冪底數(shù)
對數(shù)←→指數(shù)
真數(shù)←→冪
(二)對數(shù)的運算性質(zhì)
如果，且，，，那么：
1?+;
2-;
3.
注意：換底公式
(，且;，且;).
利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1);(2).
(二)對數(shù)函數(shù)
1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞).
注意：1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。
如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).
2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且.
2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a>1
0
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)
函數(shù)的定義域為(0，+∞)
圖象關(guān)于原點和y軸不對稱
非奇非偶函數(shù)
向y軸正負(fù)方向無限延伸
函數(shù)的值域為r
函數(shù)圖象都過定點(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過點(1，1);
(2)時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點
1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。
2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。即：
方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.
3、函數(shù)零點的求法：
求函數(shù)的零點：
1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.
4、二次函數(shù)的零點：
二次函數(shù).
1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.
2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.
3)△<0，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點.
【第12篇 2023年高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
一、直線與方程
（1）直線的傾斜角
定義：_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與_軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180° （2）直線的斜率
①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直線與軸的傾斜程度。
當(dāng)???0?,90??時，k?0； 當(dāng)???90?,180??時，k?0； 當(dāng)??90?時，k不存在。
y?y1
(_1?_2) ②過兩點的直線的斜率公式：k?2
_2?_1注意下面四點：(1)當(dāng)_1?_2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°； (2)k與p1、p2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。 （3）直線方程
①點斜式：y?y1?k(_?_1)直線斜率k，且過點?_1,y1?
注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。
當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于_1，所以它的方程是_=_1。
②斜截式：y?k_?b，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b ③兩點式：④截矩式：
y?y1y2?y1
_a?y
?
_?_1_2?_1
（_1?_2,y1?y2）直線兩點?_1,y1?，?_2,y2?
?1 b
其中直線l與_軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與_軸、y軸的截距分別為a,b。
⑤一般式：a_?by?c?0（a，b不全為0）
1各式的適用范圍 ○2特殊的方程如： 注意：○
平行于_軸的直線：y?b（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：_?a（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系
平行于已知直線a0_?b0y?c0?0（a0,b0是不全為0的常數(shù)）的直線系：
a0_?b0y?c?0（c為常數(shù)）
（二）過定點的直線系
（?。┬甭蕿閗的直線系：y?y0?k?_?_0?，直線過定點?_0,y0?；
（ⅱ）過兩條直線l1:a1_?b1y?c1?0，l2:a2_?b2y?c2?0的交點的直線系方程為
，其中直線l2不在直線系中。 ?a1_?b1y?c1????a2_?b2y?c2??0（?為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直當(dāng)l1:y?k1_?b1，l2:y?k2_?b2時， l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1
注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。 （7）兩條直線的交點
l1:a1_?b1y?c1?0 l2:a2_?b2y?c2?0相交 交點坐標(biāo)即方程組??
a1_?b1y?c1?0
的一組解。
?a2_?b2y?c2?0
方程組無解?l1//l2 ； 方程組有無數(shù)解?l1與l2重合 （8）兩點間距離公式：設(shè)a(_1,y1)，b是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，
（_2,y2）
則|ab|?
（9）點到直線距離公式：一點p?_0,y0?到直線l1:a_?by?c?0的距離d（10）兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。
?
a_0?by0?c
a?b
2
2
二、圓的方程
1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的
半徑。
2、圓的方程
（1）標(biāo)準(zhǔn)方程?_?a???y?b??r2，圓心?a,b?，半徑為r；
2
2
（2）一般方程_2?y2?d_?ey?f?0 當(dāng)d?e
22
2
?4f?0時，方程表示圓，此時圓心為?
??
?
2
2
d2
,?
1e?，半徑為r??
22?
d
2
?e
2
?4f
當(dāng)d?e?4f?0時，表示一個點； 當(dāng)d?e?4f?0時，方程不表示任何圖
形。
（3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出d，e，f；
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系：
直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：
（1）設(shè)直線l:a_?by?c?0，圓c:?_?a?2??y?b?2?r2，圓心c?a,b?到l的距離為
d?
aa?bb?ca?b
2
2
2
，則有d?r?l與c相離；d?r?l與c相切；d?r?l與c相交
2
2
（2）設(shè)直線l:a_?by?c?0，圓c:?_?a???y?b??r2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為?，則有
??0?l與c相離；??0?l與c相切；??0?l與c相交
2
注：如果圓心的位置在原點，可使用公式__0?yy0?r去解直線與圓相切的問題，其中?_0,y0?表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。
(3)過圓上一點的切線方程：
22
①圓_2+y2=r，圓上一點為(_0，y0)，則過此點的切線方程為__0?yy0?r (課本命題)．
2222
②圓(_-a)+(y-b)=r，圓上一點為(_0，y0)，則過此點的切線方程為(_0-a)(_-a)+(y0-b)(y-b)= r (課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 設(shè)圓c1:?_?a1?2??y?b1?2?r2，c2:?_?a2?2??y?b2?2?r2 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 當(dāng)d?r?r時兩圓外離，此時有公切線四條；
當(dāng)d?r?r時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng)r?r?d?r?r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當(dāng)d?r?r時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線； 當(dāng)d?r?r時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d?0時，為同心圓。
三、立體幾何初步
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共
邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱abcde?a'b'c'd'e'或用對角線的端點字母，如五棱柱
'ad
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且
相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐p?abcde
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到
截面距離與高的比的平方。
（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
'''''
表示：用各頂點字母，如五棱臺p?abcde
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點 （4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖
是一個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何
體
'
'
'
'
'
第3 / 7頁
幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。 （6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分 幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。 （7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、 俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長度不變；
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）
'
s直棱柱側(cè)面積
s正棱臺側(cè)面積
?12
?ch s圓柱側(cè)?2?rh s正棱錐側(cè)面積
(c1?c2)h' s圓臺側(cè)面積?(r?r)?l
?
12
ch' s圓錐側(cè)面積
??rl
s圓柱表?2?r?r?l? s圓錐表??r?r?l? s圓臺表???r2?rl?rl?r2?
（3）柱體、錐體、臺體的體積公式 ??v柱?sh v圓柱?sh
v臺
?
13(s?
'
2
1
r h v錐?sh v圓錐?1?r2h
3
3
s)h v圓臺?
13
(s?
'
s)h?
13
?(r?rr?r)h
22
（4）球體的表面積和體積公式：v球4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系
=
43
?r
3
； s
球面
=4?r2
第4 / 7頁
（1）平面
① 平面的概念： a.描述性說明； b.平面是無限伸展的；
② 平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；
也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面bc。
③ 點與平面的關(guān)系：點a在平面?內(nèi)，記作a??；點a不在平面?內(nèi)，記作a?? 點與直線的關(guān)系：點a的直線l上，記作：a∈l； 點a在直線l外，記作a?l；
直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l?α。 （2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。
（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）
應(yīng)用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號語言表示公理1：a?l,b?l,a??,b???l?? （3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。
推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù) （4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線
符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。
符號語言：p?a?b?a?b?l,p?l 公理3的作用：
①它是判定兩個平面相交的方法。
②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線公共點。 ③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。 （5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 （6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系
① 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 ② 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點o，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理 （2）在異面直線所成角定義中，空間一點o是任取的，而和點o的位置無關(guān)。 ②求異面直線所成角步驟：
a、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 b、證明作出的角即為所求角 c、利用三角形來求角
（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。 （8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點．
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三種位置關(guān)系的符號表示：a?α a∩α＝a a∥α
（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點；α∥β
相交——有一條公共直線。α∩β＝b
5、空間中的平行問題
（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。
線線平行?線面平行
線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，
那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行
（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個平面平行的判定定理
（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
（線面平行→面面平行），
（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。 （線線平行→面面平行），
（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行， 兩個平面平行的性質(zhì)定理
（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行） （2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行） 7、空間中的垂直問題
（1）線線、面面、線面垂直的定義 ①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 ②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。 （2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 ②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。
9、空間角問題
（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0?。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 ③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點o，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a?,b?，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。
（2）直線和平面所成的角
??
①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。 ②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。 ③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。
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在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線， 在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （3）二面角和二面角的平面角 ①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法
定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角 7、空間直角坐標(biāo)系
（1）定義：如圖，obcd?d,a,b,c,是單位正方體.以a為原點， 分別以od,oa,,ob的方向為正方向，建立三條數(shù)軸_軸.y軸.z軸。 這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系o_yz.
1）o叫做坐標(biāo)原點 2）_ 軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。
（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為_軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。
（3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點m的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(_,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(_,y,z) 叫做點m在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作m(_,y,z)（_叫做點m的橫坐標(biāo)，y叫做點m的縱坐標(biāo)，z叫做點m的豎坐標(biāo)）
（4）空間兩點距離坐標(biāo)公式：d?(_2?_1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
【第13篇 高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修1第一章知識點總結(jié)
第一章集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念
1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性
說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意?。撼Ｓ脭?shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：n
正整數(shù)集n_或n+整數(shù)集z有理數(shù)集q實數(shù)集r
關(guān)于“屬于”的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬于集合a記作a∈a，相反，a不屬于集合a記作a?a
列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。
①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式_-3>;2的解集是{_?r|_-3>;2}或{_|_-3>;2}
4、集合的.分類：
1．有限集含有有限個元素的集合
2．無限集含有無限個元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：{_|_2=－5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意：有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。
反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè)a={_|_2-1=0}b={-1,1}“元素相同”
結(jié)論：對于兩個集合a與b，如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何一個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等于集合b，即：a=b
①任何一個集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果aíb,bíc,那么aíc
④如果aíb同時bía那么a=b
3.不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
【第14篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四知識點總結(jié)
?正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角?1、任意角?負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 ?零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角?
2、角?的頂點與原點重合，角的始邊與_軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱?為第幾象限角． ??
第二象限角的集合為??k?360?90?k?360?180,k??? 第三象限角的集合為??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合為??k?360?270???k?360?360,k???
終邊在_軸上的角的集合為????k?180,k???
終邊在y軸上的角的集合為???k?180?90,k??? 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為????k?90,k???
3、與角?終邊相同的角的集合為????k?360??,k??? 第一象限角的集合為?k?360????k?360??90?,k?? ?????????????????
4、已知?是第幾象限角，確定??n???所在象限的方法：先把各象限均分n等n_
份，再從_軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則?原來是?第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域． n
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．
l6、半徑為r的圓的圓心角?所對弧的長為l，則角?的弧度數(shù)的絕對值是?． r
?180?7、弧度制與角度制的換算公式：2??360，1?，1???57.3?． ?180???????
8、若扇形的圓心角為???為弧度制?，半徑為r，弧長為l，周長為c，面積為s，11則l?r?，c?2r?l，s?lr??r2． 22
9、設(shè)?是一個任意大小的角，?的終邊上任意一點?的坐標(biāo)是?_,y?，它與原點的
距離是rr?0，則sin????y_y，cos??，tan???_?0?． rr_10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
11、三角函數(shù)線：sinα=mp，cosα=om，tanα=at． 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(1)sinα+cosα=1
2
2
(sin
2
α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α)；(2)
sinα
=tanα cosα
sinα??
sinα=tanαcosα,cosα= ?．
tanα??
13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
(1)sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα(k∈z)． (2)sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα． (3)sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα． (4)sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．
口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．
(5)sin?
??π?
-α?=cosα，cos -α?=sinα． ?2??2???π?
+α?=cosα，cos +α?=-sinα． ?2??2?
π
(6)sin?
π
口訣：奇變偶不變，符號看象限．
14、函數(shù)y=sin_的圖象上所有點向左（右）平移?個單位長度，得到函數(shù)
y=sin(_+?)的圖象；再將函數(shù)y=sin(_+?)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的
1
ω
倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象；再將函數(shù)
（縮短）到原來的a倍（橫坐標(biāo)不變），y=sin(ω_+?)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象．
函數(shù)y=sin_的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)
y=sinω_的圖象；再將函數(shù)y=sinω_的圖象上所有點向左（右）平移
1
ω
倍（縱坐標(biāo)不變），
?
個單位ω
長度，得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象；再將函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象上所有點
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的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的a倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象．
函數(shù)y=asin(ω_+?)(a>0,ω>0)的性質(zhì)：
①振幅：a；②周期：t=
2π
ω
；③頻率：f=
1ω
=；④相位：ω_+?；⑤初相：t2π
?．
函數(shù)y=asin(ω_+?)+b，當(dāng)_=_1時，取得最小值為ymin ；當(dāng)_=_2時，取得最
11t
(yma_-ymin)，b=(yma_+ymin)，=_2-_1(_1
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 函 y=cos_ y=tan_ 數(shù) y=sin_ 性
大值為yma_，則a=
質(zhì)
圖象
定義域 值域
r
r
?π?__≠kπ+,k∈z??
2??
r
[-1,1]
當(dāng)_=2kπ+
[-1,1]
(k∈z)
當(dāng)_=2kπ(k∈z)時，
π
2
最
值
時，yma_=1；當(dāng)
_=2kπ-
yma_=1；當(dāng)_=2kπ+π
π
2
(k∈z)時，ymin=-1．
2π
既無值也無最小值
(k∈z)時，ymin=-1．
2π 周
期性 奇奇函數(shù) 偶性 單
ππ??
調(diào)在?2kπ-,2kπ+?
22??
性
π
偶函數(shù) 奇函數(shù)
在[2kπ-π,2kπ](k∈z)上是
增
函
數(shù)
；
在
ππ??
在 kπ-,kπ+?
22??
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(k∈z)上是增函數(shù)；在 [2kπ,2kπ+π]
π3π??
2kπ+,2kπ+??22??
(k∈z)上是增函數(shù)．
(k∈z)上是減函數(shù)．
(k∈z)上是減函數(shù)．
對稱中心(kπ,0)(k∈z) 對
對稱軸稱
π
性 _=kπ+(k∈z)
2
對
稱
中
心
對
稱
中
心
π??kπ+,0?(k∈z)
2??
對稱軸_=kπ(k∈z)
?kπ?
,0?(k∈z)
?2?
無對稱軸
16、向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度． 零向量：長度為0的向量．
單位向量：長度等于1個單位的向量． 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行． 相等向量：長度相等且方向相同的向量． 17、向量加法運算：
⑴三角形法則的特點：首尾相連． ⑵平行四邊形法則的特點：共起點．
⑶三角形不等式：a-b≤a+b≤a+b．
⑷運算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a；②結(jié)合律：a+b+c=a+b+c；③
a+0=0+a=a．
c
⑸坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a+b=(_1+_2,y1+y2)．
18、向量減法運算：
⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．
a
b
a
b
⑵坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a-b=(_1-_2,y1-y2)． 設(shè)a、b兩點的坐標(biāo)分別為(_1,y1)，(_2,y2)，則ab=
-(_1
_2y,1-y2
)．
a-b=ac-ab=bc
19、向量數(shù)乘運算：
⑴實數(shù)λ與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa． ①
λa=λa；
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②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0
時，λa=0．
⑵運算律：①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a=λa+μa；③λa+b=λa+λb．
⑶坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_,y)，則λa=λ(_,y)=(λ_,λy)．
20、向量共線定理：向量aa≠0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)λ，使b=λa．
設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，其中b≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)_1y2-_2y1=0時，向量a、bb≠0
共線．
21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)
的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．（不共線的向量e1、e2作為
這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）
22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點p是線段p1p2上的一點，p1、p2的坐標(biāo)分別是(_1,y1)，(_2,y2)，
?_+λ_2y1+λy2?當(dāng)p1p=λpp2時，點p的坐標(biāo)是 1,?．
1+λ1+λ??
23、平面向量的數(shù)量積：
⑴a?b=abcosθa≠0,b≠0,0≤θ≤180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①a⊥b?a?b=0．②當(dāng)a與b同向時，a?b=ab； 2
2 當(dāng)a與b反向時，a?b=-ab；a?a=a=a或a=．③a?b≤ab．
⑶運算律：①a?b=b?a；②(λa)?b=λa?b=a?λb；③a+b?c=a?c+b?c．
⑷坐標(biāo)運算：設(shè)兩個非零向量a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a?b=_1_2+y1y2．
22
若a=(_,y)，則a=_+y，或a=
2
設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a⊥b?_1_2+y1y2=0．
設(shè)a、b都是非零向量，a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，θ是a與b的夾角，
則
a?b
cosθ==．
ab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；
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⑵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ； ⑶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ； ⑷sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ； ⑸tan(α-β)=
tanα-tanβ
（tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)）；
1+tanαtanβ
⑹tan(α+β)=
tanα+tanβ
（tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)）．
1-tanαtanβ
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2α=2sinαcosα． ⑵
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
1-cos2α
）． 2
（
cos2α=
cos2α+1
2
，
sin2α=
⑶tan2α=
2tanα
．
1-tan2α
(α+?)，其中tan?=
26
、asinα+bcosα=
b． a
【第15篇 北師大版高一數(shù)學(xué)必修1第一單元集合的含義與表示知識點總結(jié)
知識點1.集合與元素
一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學(xué)組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素;而整個學(xué)校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。班級相對于你是集合，相對于學(xué)校是元素，參照物不同，得到的結(jié)論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的
知識點2.解集合問題的關(guān)鍵
解集合問題的關(guān)鍵：弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，比如用數(shù)軸來表示集合，或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對時，可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合等
【第16篇 2023高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱：
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺：
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱：
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐：
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺：
定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;③側(cè)面展開圖是一個弓形。
(7)球體：
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點：①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。
高一數(shù)學(xué)必修二知識點總結(jié)
