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【第1篇 2023年計算機二級《公共基礎》知識總結(jié)：棧及線性鏈表
1.3 棧及線性鏈表
考點5 棧及其基本運算
考試鏈接：
考點5在筆試考試中，是一個必考的內(nèi)容，在筆試考試中出現(xiàn)的幾率為100%，主要是以選擇的形式出現(xiàn)，分值為2分，此考點為重點掌握內(nèi)容，讀者應該掌握棧的運算 。
1.棧的基本概念
棧是限定只在一端進行插入與刪除的線性表，通常稱插入、刪除的這一端為棧頂，另一端為棧底。當表中沒有元素時稱為空棧。棧頂元素總是后被插入的元素，從而也是最先被刪除的元素;棧底元素總是最先被插入的元素，從而也是最后才能被刪除的元素。棧是按照'先進后出'或'后進先出'的原則組織數(shù)據(jù)的。
2.棧的順序存儲及其運算
用一維數(shù)組s(1∶m)作為棧的順序存儲空間，其中m為容量。
在棧的順序存儲空間s(1∶m)中，s(bottom)為棧底元素，s(top)為棧頂元素。top=0表示棧空;top=m表示棧滿。
棧的基本運算有三種：入棧、退棧與讀棧頂元素。
(1)入棧運算：入棧運算是指在棧頂位置插入一個新元素。首先將棧頂指針加一(即top加1)，然后將新元素插入到棧頂指針指向的位置。當棧頂指針已經(jīng)指向存儲空間的最后一個位置時，說明?？臻g已滿，不可能再進行入棧操作。這種情況稱為棧'上溢'錯誤。
(2)退棧運算：退棧是指取出棧頂元素并賦給一個指定的變量。首先將棧頂元素(棧頂指針指向的元素)賦給一個指定的變量，然后將棧頂指針減一(即top減1)。當棧頂指針為0時，說明?？?，不可進行退棧操作。這種情況稱為棧的'下溢'錯誤。
(3)讀棧頂元素：讀棧頂元素是指將棧頂元素賦給一個指定的變量。這個運算不刪除棧頂元素，只是將它賦給一個變量，因此棧頂指針不會改變。當棧頂指針為0時，說明?？眨x不到棧頂元素。
小技巧：棧是按照'先進后出'或'后進先出'的原則組織數(shù)據(jù)，但是出棧方式有多種選擇，在考題中經(jīng)?？疾楦鞣N不同的出棧方式。
考點6 線性鏈表的基本概念
考試鏈接：
考點6在筆試考試中出現(xiàn)的幾率為30%，主要是以選擇的形式出現(xiàn)，分值為2分，此考點為識記內(nèi)容。重點識記結(jié)點的組成。
在鏈式存儲方式中，要求每個結(jié)點由兩部分組成：一部分用于存放數(shù)據(jù)元素值，稱為數(shù)據(jù)域，另一部分用于存放指針，稱為指針域。其中指針用于指向該結(jié)點的前一個或后一個結(jié)點(即前件或后件)。
鏈式存儲方式既可用于表示線性結(jié)構(gòu)，也可用于表示非線性結(jié)構(gòu)。
(1)線性鏈表
線性表的鏈式存儲結(jié)構(gòu)稱為線性鏈表。
在某些應用中，對線性鏈表中的每個結(jié)點設置兩個指針，一個稱為左指針，用以指向其前件結(jié)點;另一個稱為右指針，用以指向其后件結(jié)點。這樣的表稱為雙向鏈表。
(2)帶鏈的棧
棧也是線性表，也可以采用鏈式存儲結(jié)構(gòu)。帶鏈的?？梢杂脕硎占嬎銠C存儲空間中所有空閑的存儲結(jié)點，這種帶鏈的棧稱為可利用棧。
疑難解答：在鏈式結(jié)構(gòu)中，存儲空間位置關系與邏輯關系是什么?
在鏈式存儲結(jié)構(gòu)中，存儲數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲空間可以不連續(xù)，各數(shù)據(jù)結(jié)點的存儲順序與數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關系可以不一致，而數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關系是由指針域來確定的。
【第2篇 2023年考研數(shù)學線性代數(shù)四大考點總結(jié)
在考研數(shù)學考試中關于線性代數(shù)的部分里，有關矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標準化與正定判斷這四大考點，是大家一定要復習好的內(nèi)容。
線性代數(shù)占考研數(shù)學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。
?矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區(qū)別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯(lián)系地看問題，及時總結(jié)結(jié)論。
?矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量)，會處理含參數(shù)的情況。
?線性方程組求解
對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點，對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2023年第20題(數(shù)學二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在'a_=b存在2個不同的解'這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。
?二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運算中節(jié)省時間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
【第3篇 向量線性相關判斷方法總結(jié)
向量（數(shù)學用語）
在數(shù)學中，幾何向量（也稱為歐幾里得向量，通常簡稱向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。與之對應的只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學中稱標量）
向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。
向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭→。如果給定向量的起點（a）和終點（b），可將向量記作ab（并于頂上加→）。給空間設一直角坐標系，也能把向量以數(shù)對形式表示，例如o_y平面中(2,3)是一向量。
而在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向墻而對其施加的.力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢對應于物理中的勢能。
幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區(qū)分文中所說的'向量'是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當?shù)亩x，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
向量線性相關和線性無關的判斷
【第4篇 2023高考數(shù)學線性公式總結(jié)
拋物線：y = a_ _+ b_ + c
就是y等于a_ 的平方加上 b_再加上 c
a > 0時開口向上
a < 0時開口向下
c = 0時拋物線經(jīng)過原點
b = 0時拋物線對稱軸為y軸
還有頂點式y(tǒng) = a(_+h)_ + k
就是y等于a乘以(_+h)的平方+k
-h是頂點坐標的_
k是頂點坐標的y
一般用于求值與最小值
拋物線標準方程:y^2=2px
它表示拋物線的焦點在_的正半軸上,焦點坐標為(p/2,0) 準線方程為_=-p/2
由于拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px _^2=2py _^2=-2py
關于圓的公式
體積=4/3(pi)(r^3)
面積=(pi)(r^2)
周長=2(pi)r
圓的標準方程 (_-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圓心坐標
圓的一般方程 _2+y2+d_+ey+f=0 注：d2+e2-4f>0
(一)橢圓周長計算公式
橢圓周長公式：l=2πb+4(a-b)
橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長(2πb)加上四倍的該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。
(二)橢圓面積計算公式
橢圓面積公式： s=πab
橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率(π)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。
以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率t，但這兩個公式都是通過橢圓周率t推導演變而來。常數(shù)為體，公式為用。
橢圓形物體 體積計算公式橢圓 的 長半徑_短半徑_pai_高
【第5篇 線性代數(shù)的知識點總結(jié)
第一章、行列式
知識點1：行列式、逆序數(shù)
知識點2：余子式、代數(shù)余子式
知識點3：行列式的性質(zhì)
知識點4：行列式按一行（列）展開公式
知識點5：計算行列式的方法
知識點6：克拉默法則
第二章、矩陣
知識點7：矩陣的概念、線性運算及運算律
知識點8：矩陣的乘法運算及運算律
知識點9：計算方陣的冪
知識點10：轉(zhuǎn)置矩陣及運算律
知識點11：伴隨矩陣及其性質(zhì)
知識點12：逆矩陣及運算律
知識點13：矩陣可逆的判斷
知識點14：方陣的行列式運算及特殊類型的矩陣的運算
知識點15：矩陣方程的求解
知識點16：初等變換的概念及其應用
知識點17：初等方陣的概念
知識點18：初等變換與初等方陣的關系
知識點19：等價矩陣的概念與判斷
知識點20：矩陣的子式與最高階非零子式
知識點21：矩陣的秩的概念與判斷
知識點22：矩陣的秩的性質(zhì)與定理
知識點23：分塊矩陣的概念與運算、特殊分塊陣的運算
知識點24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例
第三章、向量
知識點25：向量的概念及運算
知識點26：向量的線性組合與線性表示
知識點27：向量組之間的線性表示及等價
知識點28：向量組線性相關與線性無關的概念
知識點29：線性表示與線性相關性的關系
知識點30：線性相關性的判別法
知識點31：向量組的最大線性無關組和向量組的.秩的概念
知識點32：矩陣的秩與向量組的秩的關系
知識點33：求向量組的最大無關組
知識點34：有關向量組的定理的綜合運用
知識點35：內(nèi)積的概念及性質(zhì)
知識點36：正交向量組、正交陣及其性質(zhì)
知識點37：向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法
知識點38：向量空間（數(shù)一）
知識點39：基變換與過渡矩陣（數(shù)一）
知識點40：基變換下的坐標變換（數(shù)一）
第四章、線性方程組
知識點41：齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)
知識點42：非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)
知識點43：非齊次線性線性方程組解的各種情形
知識點44：用初等行變換求解線性方程組
知識點45：線性方程組的公共解、同解
知識點46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運算的關系
知識點47：方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例
第五章、矩陣的特征值與特征向量
知識點48：特征值與特征向量的概念與性質(zhì)
知識點49：特征值和特征向量的求解
知識點50：相似矩陣的概念及性質(zhì)
知識點51：矩陣的相似對角化
知識點52：實對稱矩陣的相似對角化.
知識點53：利用相似對角化求矩陣和矩陣的冪
第六章、二次型
知識點54：二次型及其矩陣表示
知識點55：矩陣的合同
知識點56 : 矩陣的等價、相似與合同的關系
知識點57：二次型的標準形
知識點58：用正交變換化二次型為標準形
知識點59：用配方法化二次型為標準形
知識點60：正定二次型的概念及判斷
【第6篇 2023考研數(shù)學線性代數(shù)知識點總結(jié)
導語在決定考研后，同學們要做的事情就是了解考試科目的知識點內(nèi)容，做到知己知彼，這樣才能夠掌握考試，取得好的成績，考研數(shù)學也是如此。為大家整理了一些線性代數(shù)的知識點，分享給備考的同學們。
行列式
1、行列式本質(zhì)——就是一個數(shù)
2、行列式概念、逆序數(shù)
考研：小題，無法聯(lián)系其他知識點，當場解決。
3、二階、三階行列式具體性計算
考研：不會單獨出題，常常結(jié)合伴隨矩陣、可逆矩陣考察。
4、余子式和代數(shù)余子式
考研：代數(shù)余子式的正負是一個易錯點，了解代數(shù)余子式才能學習行列式展開定理。
5、行列式展開定理
考研：核心知識點，必考!
6、行列式性質(zhì)
考研：核心知識點，必考!小題為主。
7、行列式計算的幾個題型
①、劃三角(正三角、倒三角)
②、各項均加到第一列(行)
③、逐項相加
④、分塊矩陣
⑤、找公因
這樣做的目的，在行/列消出一個0，方便運用行列式展開定理。
考研：經(jīng)常運用在找特征值中。
⑥數(shù)學歸納法
⑦范德蒙行列式
⑧代數(shù)余子式求和
⑨構(gòu)造新的代數(shù)余子式
8、抽象型行列式(矩陣行列式)
①轉(zhuǎn)置
②k倍
③可逆
③伴隨
④題型丨a+b丨;丨a+b-1丨;丨a-1+b丨型
(這部分內(nèi)容放在第二章，但屬于第一章的內(nèi)容)
考研：出小題概率非常大，抽象性行列式與行列式性質(zhì)結(jié)合考察。
矩陣
1、矩陣性質(zhì)
考研：與伴隨矩陣、可逆矩陣、初等矩陣結(jié)合考察。
2、數(shù)字型n階矩陣運算
①方法一：秩是1
②方法二：含對角線上下三角為0的矩陣
③方法三：利用二項式定理，拆寫成e+b型
④方法四：利用分塊矩陣
⑤方法五：p-1ap=b;p-1app-1ap=b2
方法五涉及相似對角化知識。
方法三涉及高中知識。
考研：常見在大題出現(xiàn)，是大題的第一問!看到數(shù)字型n階矩陣運算，一定出自這5個方法。
3、伴隨矩陣
考研：伴隨矩陣常與其他知識考察，與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、可逆、伴隨的伴隨結(jié)合考察。
4、二階矩陣的伴隨矩陣
法則：主對角線互換、副對角線填負號。
考研：如果讓求某個二階矩陣的可逆矩陣，難點轉(zhuǎn)化成如何計算它的伴隨矩陣。
5、可逆矩陣兩種求法
考研：可逆矩陣可與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、伴隨矩陣、可逆的可逆結(jié)合考察。
6、分塊矩陣
考研：以小題出現(xiàn)
7、初等矩陣
考研：小題出現(xiàn)
8、正交矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣
考研：第二章先知道張什么模樣，這部分內(nèi)容在二次型、相似對角化考察。
9、秩(十個公式)
考研：把秩比作答題的第二種方法，在解決向量、方程組等相關知識點，可以用傳統(tǒng)方法(解題速度慢)，也可用秩，解題速度是傳統(tǒng)方法的5倍!但是難懂。
向量
1、幾組定義(向量內(nèi)積、向量的長度、單位化、正交)
考研：考單位化，但是如果想理解線性代數(shù)本質(zhì)，向量內(nèi)積、向量的長度要懂。
2、線性相關、無關的三大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、向量個數(shù)>;維度，必相關
⑶、利用秩
考研：小題出現(xiàn)，很少結(jié)合其他章節(jié)知識點。
3、線性相關無關證明題三種思路
⑴、利用定義法
⑵、用秩
⑶、反證法
考研：大題考點，這部分內(nèi)容可以與線性方程組結(jié)合，也可以與特征值特征向量結(jié)合，也可以與秩結(jié)合。至于如何結(jié)合，怎么結(jié)合，請自己歸納總結(jié)。
4、線性表出四大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、利用秩
⑶、利用定義
⑷、利用方程組
考研：可小題、可大題，但是通是大題的某一問。
5、克拉默法則
考研：服務線性表出。
6、線性表出計算題三大思路
⑴、利用克拉默法則
⑵、構(gòu)建方程組，抓0思想
⑶、與向量組結(jié)合考等價。
考研：大題考點!涉及部分方程組知識和初等行變換知識。
這部分內(nèi)容涉及重要的數(shù)學思想：分類討論!!!(大題愛考)
7、線性表出證明題四個理論
考研：大題小題都有，但是近幾年小題居多。
8、極大線性無關組
考研：核心考點內(nèi)容和2、3知識點一樣，換湯不換藥
9、等價向量組
考研：小題居多，很少與其它章節(jié)知識點結(jié)合。
線性方程組
1、基礎解系
(不懂就背下來，我當時考研到10月份才茅塞頓開。)
2、齊次線性方程組與非齊次線性方程組
⑴、常規(guī)求解
⑵、解含參數(shù)的方程組
(這部分內(nèi)容最難在于化簡，矩陣基礎要牢固!!)
⑶、利用解的三個性質(zhì)
⑷、通過矩陣運算，構(gòu)造方程組再求解
考研：大題核心考點，歷年考題向量和方程組會出其中一道，而方程組的出題概率高于向量!原因如下
①、解題方法多。
②、能與矩陣相關知識聯(lián)系結(jié)合。
3、公共解、同解兩種題型
考研：重要考點題!
特征值與特征向量
1、特征值相關概念與計算
考研：必考題，這里面難點不在于特征值相關知識，而在于求解行列式相關知識。
2、特殊特征值
⑴、上三角矩陣、下三角矩陣。
⑵、秩為1的矩陣
⑶、某個矩陣拆分后，利用⑴和⑵結(jié)合。
3、相似矩陣概念及性質(zhì)
考研：不會單獨出，但一定會結(jié)合其他題目
4、相似矩陣兩種考題
如果p-1ap=b
⑴若aλ=λa→b(p-1a)=λ(p-1a)
⑵若ba=λa→a(pa)=λ(pa)
考研：這部分內(nèi)容是內(nèi)容5的基礎，但是如果單獨出考題，不太可能。
5、對角矩陣的相似問題
核心內(nèi)容：“搭橋”橋是λ。
考研：核心重點考點!
本內(nèi)容需要分類討論、需要基礎解系相關知識、又可以聯(lián)系特征值、特征向量，性質(zhì)方面也可全面考察。
6、反對稱矩陣
考研：小題
7、實對稱矩陣以及正交矩陣
考研：也是重要考點，大部分知識和前面一樣，不同之處在于多一個史密斯正交化。
二次型
1、二次型相關概念
內(nèi)容和微分方程有異曲同工之妙，記憶的內(nèi)容比較多，但比較簡單。
考研：出小題，比如填寫一個負慣性指數(shù)。
2、矩陣的等價、相似、合同
考研：出小題，一定不可能出大題的。
3、化二次型為標準型、正定問題
考研：核心重點考點，內(nèi)容本身沒什么難度，只是把前面所有的知識綜合起來。
【第7篇 線性公式總結(jié)高考數(shù)學考點
線性公式總結(jié)高考數(shù)學考點
拋物線：y = a_ _+ b_ + c
就是y等于a_ 的平方加上 b_再加上 c
a >;0時開口向上
a< 0時開口向下
c = 0時拋物線經(jīng)過原點
b = 0時拋物線對稱軸為y軸
還有頂點式y(tǒng) = a(_+h)_ + k
就是y等于a乘以(_+h)的平方+k
-h是頂點坐標的_
k是頂點坐標的y
一般用于求最大值與最小值
拋物線標準方程:y^2=2px
它表示拋物線的焦點在_的正半軸上,焦點坐標為(p/2,0) 準線方程為_=-p/2
由于拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px _^2=2py _^2=-2py
關于圓的公式
體積=4/3(pi)(r^3)
面積=(pi)(r^2)
周長=2(pi)r
圓的標準方程 (_-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圓心坐標
圓的一般方程 _2+y2+d_+ey+f=0 注：d2+e2-4f>;0
(一)橢圓周長計算公式
橢圓周長公式：l=2πb+4(a-b)
橢圓周長定理：橢圓的`周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長(2πb)加上四倍的該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。
(二)橢圓面積計算公式
橢圓面積公式： s=πab
橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率(π)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。
以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率t，但這兩個公式都是通過橢圓周率t推導演變而來。常數(shù)為體，公式為用。
橢圓形物體 體積計算公式橢圓 的 長半徑_短半徑_pai_高
