向量總結(jié)（九篇）

【第1篇 平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的重要性，小編為您提供了這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，希望對同學(xué)們的數(shù)學(xué)有所幫助。

定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式(向量p1p=λ向量pp2)

設(shè)p1、p2是直線上的兩點(diǎn)，p是l上不同于p1、p2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) λ，使 向量p1p=λ向量pp2，λ叫做點(diǎn)p分有向線段p1p2所成的比。

若p1(_1,y1)，p2(_2,y2)，p(_,y)，則有

op=(op1+λop2)(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)

_=(_1+λ_2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

我們把上面的式子叫做有向線段p1p2的定比分點(diǎn)公式

三點(diǎn)共線定理

若oc=λoa +μob ,且λ+μ=1 ,則a、b、c三點(diǎn)共線

三角形重心判斷式

在△abc中，若ga +gb +gc=o,則g為△abc的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是 _y'-_'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 ab=0。

a⊥b的充要條件是 __'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

設(shè)a=(_，y)，b=(_'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

ab+bc=ac。

a+b=(_+_'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a;

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0

ab-ac=cb. 即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=(_,y) b=(_',y') 則 a-b=(_-_',y-y').

4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且?λa?=?λ??a?。

當(dāng)λ>;0時(shí)，λa與a同方向;

當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a反方向;

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的.系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)?λ?>;1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的?λ?倍;

當(dāng)?λ?<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的?λ?倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作oa=a,ob=b,則角aob稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=__'+yy'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba(交換律);

(λa)b=λ(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量積

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

?a×b?是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運(yùn)算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量ab/向量cd”是沒有意義的。

向量的三角形不等式

1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào);

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。

① 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào);

② 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

這篇有關(guān)平面向量的公式的高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，是小編精心為同學(xué)們準(zhǔn)備的，祝大家學(xué)習(xí)愉快!

【第2篇 高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修一平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度.

零向量：長度為的向量.

單位向量：長度等于個(gè)單位的向量.

相等向量：長度相等且方向相同的向量

&向量的運(yùn)算

加法運(yùn)算

ab+bc=ac，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)o出發(fā)的兩個(gè)向量oa、ob，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oacb，則以o為起點(diǎn)的對角線oc就是向量oa、ob的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當(dāng)λ >;0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ< 0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ = 0時(shí)，λa = 0。

設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的'數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

【第3篇 高二數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

考點(diǎn)一：向量的概念、向量的基本定理

內(nèi)容解讀了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得向量與原向量相同;兩個(gè)向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。

考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算

內(nèi)容解讀向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

命題規(guī)律命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)

內(nèi)容解讀掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來幫助理解。

命題規(guī)律重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

內(nèi)容解讀向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。

命題規(guī)律命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。

考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問題的交匯

內(nèi)容解讀平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

內(nèi)容解讀向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的`代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

高二數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【第4篇 向量線性相關(guān)判斷方法總結(jié)

向量（數(shù)學(xué)用語）

在數(shù)學(xué)中，幾何向量（也稱為歐幾里得向量，通常簡稱向量、矢量），指具有大?。╩agnitude）和方向的量。與之對應(yīng)的只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱標(biāo)量）

向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時(shí)在字母頂上加一小箭頭→。如果給定向量的起點(diǎn)（a）和終點(diǎn)（b），可將向量記作ab（并于頂上加→）。給空間設(shè)一直角坐標(biāo)系，也能把向量以數(shù)對形式表示，例如o_y平面中(2,3)是一向量。

而在物理學(xué)和工程學(xué)中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個(gè)物體的位移，球撞向墻而對其施加的.力等等。與之相對的是標(biāo)量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢對應(yīng)于物理中的勢能。

幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時(shí)需按照語境來區(qū)分文中所說的'向量'是哪一種概念。不過，依然可以找出一個(gè)向量空間的基來設(shè)置坐標(biāo)系，也可以透過選取恰當(dāng)?shù)亩x，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

向量線性相關(guān)和線性無關(guān)的判斷

【第5篇 高二數(shù)學(xué)公式總結(jié)之向量公式

關(guān)于高二數(shù)學(xué)公式總結(jié)之向量公式

1.單位向量：單位向量a0=向量a/|向量a|

2.p(_,y)那么向量op=_向量i+y向量j

|向量op|=根號(hào)（_平方+y平方）

3.p1(_1,y1)p2(_2,y2)

那么向量p1p2=｛_2-_1,y2-y1｝

|向量p1p2|=根號(hào)[(_2-_1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛_1,_2｝向量b=｛_2,y2｝

向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_cosα=_1_2+y1y2

cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|

(_1_2+y1y2)

根號(hào)(_1平方+y1平方)_根號(hào)（_2平方+y2平方）

5.空間向量：同上推論

（提示：向量a=｛_,y,z｝）

6.充要條件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a_向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a_向量b=±|向量a|_|向量b|

或者_(dá)1/_2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a_向量b

=(向量a±向量b)平方

【第6篇 高二數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高二數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面向量

1.基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2. 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

(1)若a=(_1,y1 ),b=(_2,y2 )則a b=(_1+_2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律： + = + (交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律);

3.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量。

(1)| |=| |

(2) 當(dāng) a0時(shí)， 與a的方向相同;當(dāng)a0時(shí)， 與a的方向相反;當(dāng) a=0時(shí)，a=0.

兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b= .

(2) 若 =( ),b=( )則 ‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù) ， ，使得 = e1+ e2.

4.p分有向線段 所成的比：

設(shè)p1、p2是直線 上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)p是 上不同于p1、p2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 = ， 叫做點(diǎn)p分有向線段 所成的比。

當(dāng)點(diǎn)p在線段 上時(shí)， 當(dāng)點(diǎn)p在線段 或 的延長線上時(shí)，

分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若 = ; 的坐標(biāo)分別為( ),( ),( );則 ( -1)， 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： .

5. 向量的數(shù)量積：

(1).向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量 與b，作 = , =b,則aob= ( )叫做向量 與b的夾角。

(2).兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 b=| ||b|cos .

其中|b|cos 稱為向量b在 方向上的投影.

(3).向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若 =( ),b=( )則e = e=| |cos (e為單位向量);

b b=0 ( ，b為非零向量);| |= ;

cos = = .

(4) .向量的`數(shù)量積的運(yùn)算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。

【第7篇 平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的內(nèi)容

平面向量的數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的內(nèi)容

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1. 向量共線定理? 向量 與非零向量 共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使 =λ .

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與 軸、 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底.任作一個(gè)向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù) 、 ，使得

把 叫做向量 的(直角)坐標(biāo)，記作

4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若 ， ，則? ，? ， .

若 ， ，則

5. ∥? ( ? )的充要條件是_1y2-_2y1=0

6.線段的定比分點(diǎn)及λ

p1， p2是直線l上的兩點(diǎn)，p是l上不同于p1， p2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，

使? =λ ，λ叫做點(diǎn)p分 所成的比，有三種情況：

λ>;0(內(nèi)分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)

7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：

若點(diǎn)p1(_1，y1) ，p2(_2，y2)，λ為實(shí)數(shù)，且 =λ ，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為( )，我們稱λ為點(diǎn)p分 所成的比.

8. 點(diǎn)p的位置與λ的范圍的關(guān)系：

①當(dāng)λ>;0時(shí)， 與 同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)p為 的內(nèi)分點(diǎn).

②當(dāng)λ<0( )時(shí)， 與 反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)p為 的外分點(diǎn).

9.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o，設(shè) =a， =b，

可得 = .

10.力做的功：w = |f|?|s|cos?，?是f與s的夾角.

二、講解新課：

1.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量a與b，作 =a， =b，則∠aob=θ(0≤θ≤π)叫a與b的夾角.

說明：(1)當(dāng)θ=0時(shí)，a與b同向;

(2)當(dāng)θ=π時(shí)，a與b反向;

(3)當(dāng)θ= 時(shí)，a與b垂直，記a⊥b;

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?

2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫a與b的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，

(0≤θ≤π).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos?的符號(hào)所決定.

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的.數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“? ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0;但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os?有可能為0.

(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||oa|，b?c = |b||c|cos? = |b||oa|

? a?b = b?c? 但a ? c

(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.

3.“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量;當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)?為直角時(shí)投影為0;當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|;當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.

4.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.

5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.

1?? e?a = a?e =|a|cos?

2?? a?b ? a?b = 0

3?? 當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|. 特別的a?a = |a|2或

4?? cos? =

5?? |a?b| ≤ |a||b|

三、講解范例：

例1 已知|a|=5， |b|=4， a與b的夾角θ=120o，求a?b.

例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)?(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直.

例4 判斷正誤，并簡要說明理由.

①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，則對任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦對任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2.

解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確;

對于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0?a=0;對于②：應(yīng)有0?a=0;

對于④：由數(shù)量積定義有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時(shí)，才有|a?b|=|a|?|b|;

對于⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;

對于⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;

對于⑦：若a與с共線，記a=λс.

則a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，

∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a

若a與с不共線，則(a?b)с≠(b?с)a.

評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律.

例6 已知|a|=3，|b|=6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a?b.

解：①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角θ=0°，

∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;

若a與b反向，則它們的夾角θ=180°，

∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ=90°，

∴a?b=0;

③當(dāng)a與b的夾角是60°時(shí)，有

a?b=|a||b|cos60°=3×6× =

評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是[0°，180°]，因此，當(dāng)a∥b時(shí)，有0°或180°兩種可能.

【第8篇 高二數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

考點(diǎn)一：向量的概念、向量的基本定理

內(nèi)容解讀了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得向量與原向量相同;兩個(gè)向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。

考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算

內(nèi)容解讀向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

命題規(guī)律命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)

內(nèi)容解讀掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來幫助理解。

命題規(guī)律重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

內(nèi)容解讀向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。

命題規(guī)律命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。

考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問題的交匯

內(nèi)容解讀平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

內(nèi)容解讀向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

高二數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【第9篇 向量知識(shí)點(diǎn)與公式總結(jié)

向量知識(shí)點(diǎn)與公式總結(jié)

考點(diǎn)一：向量的概念、向量的基本定理

內(nèi)容解讀了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意對向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得向量與原向量相同;兩個(gè)向量無法比較大小，它們的?？杀容^大小。

考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算

內(nèi)容解讀向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系;掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

命題規(guī)律命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)

內(nèi)容解讀掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來幫助理解。

命題規(guī)律重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。

考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

內(nèi)容解讀向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求。

命題規(guī)律命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題。

考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問題的`交匯

內(nèi)容解讀平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍。

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

內(nèi)容解讀向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，許多平面幾何問題中較難解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

命題規(guī)律命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

高二數(shù)學(xué)向量公式

1.單位向量：單位向量a0=向量a/|向量a|

2.p(_,y)那么向量op=_向量i+y向量j

|向量op|=根號(hào)（_平方+y平方）

3.p1(_1,y1)p2(_2,y2)

那么向量p1p2=｛_2-_1,y2-y1｝

|向量p1p2|=根號(hào)[(_2-_1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛_1,_2｝向量b=｛_2,y2｝

向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_cosα=_1_2+y1y2

cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|

(_1_2+y1y2)

根號(hào)(_1平方+y1平方)_根號(hào)（_2平方+y2平方）

5.空間向量：同上推論

（提示：向量a=｛_,y,z｝）

6.充要條件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a_向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a_向量b=±|向量a|_|向量b|

或者_(dá)1/_2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a_向量b

=(向量a±向量b)平方