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【第1篇 初中數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)
I.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(_-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [僅限于與_軸有交點A(_? ，0)和 B(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 _ = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在_軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點個數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸：
當h>0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而減小;當_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而增大;當_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|_?-_?|
當△=0.圖象與_軸只有一個交點;
當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數(shù)時，都有y>0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數(shù)時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當_= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第2篇 高中二次函數(shù)知識點總結(jié)
高中二次函數(shù)知識點總結(jié)
數(shù)學的學習是必要的，為了幫助大家更好的學習數(shù)學，下面是高中二次函數(shù)知識點總結(jié)，歡迎查閱！
一、二次函數(shù)概念：
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).
2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2.
⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項.
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上軸時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下軸時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有最大值.
2. 的性質(zhì)：
上加下減。
的`符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上軸時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下軸時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有最大值.
3. 的性質(zhì)：
左加右減。
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上_=h時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下_=h時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有最大值.
4. 的性質(zhì)：
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上_=h時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下_=h時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有最大值.
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移;值正上移，負下移”.
概括成八個字“左加右減，上加下減”.
方法二：
⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位，變成
(或)
⑵沿軸平移：向左(右)平移個單位，變成(或)
四、二次函數(shù)與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中.
五、二次函數(shù)圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，(若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點).
畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函數(shù)的性質(zhì)
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為.
當時，隨的增大而減小;當時，隨的增大而增大;當時，有最小值.
【第3篇 初中奧數(shù)求二次函數(shù)頂點坐標公式總結(jié)
自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
(1)一般式：y=a_2+b_+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0),則稱y為_的二次函數(shù)。頂點坐標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)頂點式：y=a(_-h)2+k或y=a(_+m)^2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).
(3)交點式(與_軸)：y=a(_-_1)(_-_2)
(4)兩根式：y=a(_-_1)(_-_2)，其中_1,_2是拋物線與_軸的交點的橫坐標，即一元二次方程a_2+b_+c=0的兩個根，a≠0.
說明：
(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(_-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h=0時，拋物線y=a_2+k的頂點在y軸上;當k=0時，拋物線a(_-h)2的頂點在_軸上;當h=0且k=0時，拋物線y=a_2的頂點在原點.
(2)當拋物線y=a_2+b_+c與_軸有交點時，即對應(yīng)二次方程a_2+b_+c=0有實數(shù)根_1和_2存在時，根據(jù)二次三項式的分解公式a_2+b_+c=a(_-_1)(_-_2),二次函數(shù)y=a_2+b_+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(_-_1)(_-_2).
【第4篇 高一數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)
高一數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)
i.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，iai還可以決定開口大小，iai越大開口就越小，iai越小開口就越大.)
則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點p(h，k)]
交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點a(_?，0)和b(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
_=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點p，坐標為
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，p在y軸上;當δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>;0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
a越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>;0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點個數(shù)
δ=b^2-4ac>;0時，拋物線與_軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程(以下稱方程)，
即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
頂點坐標
對稱軸
y=a_^2
(0，0)
_=0
y=a(_-h)^2
(h，0)
_=h
y=a(_-h)^2+k
(h，k)
_=h
y=a_^2+b_+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
_=-b/2a
當h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動h個單位得到.
當h>;0，k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當h>;0，k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0，k>;0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>;0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減小;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的.增大而增大;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=_?-_?
當△=0.圖象與_軸只有一個交點;
當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數(shù)時，都有y>;0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數(shù)時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn).
【第5篇 二次函數(shù)知識點總結(jié)
二次函數(shù)知識點總結(jié)
二次函數(shù)及其圖像
二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(_)=a_^2b_c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般的，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=a_∧2;b_c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);
頂點式
y=a(_m)∧2k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(_-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為(-m，k)對稱軸為_=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=a_∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;
交點式
y=a(_-_1)(_-_2)[僅限于與_軸有交點a(_1，0)和b(_2，0)的拋物線];
重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點求函數(shù)解析式)
y=(y3(_-_1)(_-_2))/((_3-_1)(_3-_2)(y2(_-_1)(_-_3))/((_2-_1)(_2-_3)(y1(_-_2)(_-_3))/((_1-_2)(_1-_3)。由此可引導(dǎo)出交點式的系數(shù)a=y1/(_1__2)(y1為截距)
求根公式
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
_是自變量，y是_的二次函數(shù)
_1,_2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=2_的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明_=什么
3與_軸交點坐標，與y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質(zhì)
軸對稱
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
頂點
2.拋物線有一個頂點p，坐標為p(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)
當-b/2a=0時，p在y軸上;當δ=b^2;-4ac=0時，p在_軸上。
開口
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>;0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的'因素
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>;0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b 2a=''>;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>;0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
拋物線與_軸交點個數(shù)
6.拋物線與_軸交點個數(shù)
δ=b^2-4ac>;0時，拋物線與_軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。_的取值是虛數(shù)(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
當a>;0時，函數(shù)在_=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{_|_<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{_|_>;-b/2a}上是增函數(shù);拋物線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=a_^2c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當_=1時y=abc
②當_=-1時y=a-bc
③當_=2時y=4a2bc
④當_=-2時y=4a-2bc
【第6篇 二次函數(shù)知識總結(jié)
二次函數(shù)知識總結(jié)
一、定義與定義表達式一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_2+b_+c(a0)，則稱y為_的二次函數(shù)。
二、二次函數(shù)的三種表達式一般式：
y=a_2+b_+c(a0)頂點式：y=a(_-h)2+k(a0)，此時拋物線的頂點坐標為p(h，k)交點式：y=a(_-_1)(_-_2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與_軸有兩個交點時，_1、_2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為a(_1，0)和b(_2，0))，對稱軸所在的直線為_=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-，k=;_1,_2=;_1+_2=-
三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。
四、拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線_=-，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點p。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點p，坐標為p(-，)。當_=-時，y最值=，當a0時，函數(shù)y有最小值;當a0時，函數(shù)y有最大值。當-=0時，p在y軸上(即交點的橫坐標為0);當=b2-4ac=0時，p在_軸上(即函數(shù)與_軸只有一個交點)。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。當a0時，拋物線開口向上;當a0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等;若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。
4.二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當對稱軸在y軸左邊時，a與b同號(即ab當對稱軸在y軸右邊時，a與b異號(即ab0)。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點(0，c)。
6.拋物線y=a_2+b_+c(a0)與_軸交點個數(shù)與方程a_2+b_+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0時，拋物線與_軸有2個交點，對應(yīng)方程有兩個不相同的.實數(shù)根;=b2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點，對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。=b2-4ac0時，拋物線與_軸沒有交點，對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。
五、二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=a_2+b_+c(a0)，當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程，即a_2+b_+c=0，此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與_軸交點的橫坐標即為方程的根。(參考四-6)
六、常用的計算方法
1、求解析式的時候：若給定三個普通點的坐標，則設(shè)為一般式y(tǒng)=a_2+b_+c(a0)，分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式;若給定有頂點坐標或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點式y(tǒng)=a(_-h)2+k(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點式即可求出解析式;若給定有與_軸的交點坐標，則設(shè)為交點式y(tǒng)=a(_-_1)(_-_2)(a0)，再找一點坐標代入即可求出a，再代回設(shè)的交點式即可求出解析式。以上方法特別要注意括號內(nèi)的正負號。
2、若求函數(shù)與_軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標;
3、若求函數(shù)的頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式;
4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同頂點坐標)。
5、當需要判定函數(shù)y=a_2+b_+c(a0)與_軸沒有交點時，需判定方程a_2+b_+c=0的lt;0，同理，與_軸只有一個交點時，=0，與_軸有兩個交點時，gt;0。對的判定方法仍然是用配方的方法。
【第7篇 初中奧數(shù)二次函數(shù)知識點總結(jié)
一、二次函數(shù)概念：
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).
2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：
⑴ 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的次數(shù)是2.
⑵ 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項.
二、二次函數(shù)的基本形式
1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上軸時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下軸時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有值.
2. 的性質(zhì)：
上加下減。
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上軸時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下軸時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有值.
3. 的性質(zhì)：
左加右減。
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上_=h時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下_=h時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有值.
4. 的性質(zhì)：
的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)
向上_=h時，隨的增大而增大;時，隨的增大而減小;時，有最小值.
向下_=h時，隨的增大而減小;時，隨的增大而增大;時，有值.
三、二次函數(shù)圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標;
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移;值正上移，負下移”.
概括成八個字“左加右減，上加下減”.
方法二：
⑴沿軸平移:向上(下)平移個單位，變成
(或)
⑵沿軸平移：向左(右)平移個單位，變成(或)
四、二次函數(shù)與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中.
五、二次函數(shù)圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，(若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點).
畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函數(shù)的性質(zhì)
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為.
當時，隨的增大而減小;當時，隨的增大而增大;當時，有最小值.
【第8篇 中考數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)
導(dǎo)語有一個現(xiàn)象是普遍存在的，就是“學的越多感覺不會的越多，背的越多忘的越快”，這個問題困擾著很多考研黨。很多時候死記硬背并不是的方法，需要找到正確的思路，靈活記憶。為同學們提供中考數(shù)學二次函數(shù)知識點總結(jié)，希望能對大家有所幫助。
i.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=a_^2+b_+c
（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.）則稱y為_的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數(shù)的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）
頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點p（h，k）]
交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點a（_?，0）和b（_?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=_^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點p。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線_=0）
2.拋物線有一個頂點p，坐標為：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與_軸交點個數(shù)
δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與_軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與_軸沒有交點。
_的取值是虛數(shù)（_=-b±√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）
v.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于_的一元二次方程（以下稱方程），即a_^2+b_+c=0
此時，函數(shù)圖像與_軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>;0,k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當h>;0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>;0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(_-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>;0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減??；當_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大．若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而增大；當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小．
4．拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離ab=|_?-_?|
當△=0．圖象與_軸只有一個交點；
當△<0．圖象與_軸沒有交點．當a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數(shù)時，都有y>;0；當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數(shù)時，都有y<0．
5．拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知_、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
