高一數(shù)學(xué)集合總結(jié)（五篇）

【第1篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識點(diǎn)總結(jié)

一．知識歸納：

1．集合的有關(guān)概念。

1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；

2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）

3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5）補(bǔ)集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ；

②若 ， ，則 ；

③若 且 ，則a=b（等集）

3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。

4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系

①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；

④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。

5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；

6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。

二．例題講解：

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}

對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）

a．m=n b．m n c．n m d．

解：

當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為

a）1 b）2 c）3 d）4

分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。

變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為

a）5個 b）6個 c）7個 d）8個

變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1

分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。

解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

例5已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練

選擇題

1． 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)

（a）4 （b）5 （c）6 （d）7

2．集合{1，2，3}的真子集共有

（a）5個 （b）6個 （c）7個 （d）8個

3．集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個

4．設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是

（a）cua cub （b）cua cub=u

（c）a cub= （d）cua b=

5．已知集合a={ }， b={ }則a =

（a）r （b）{ }

（c）{ } （d）{ }

6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為

{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是

（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）

（c）只有（2） （d）以上語句都不對

7．設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=

（a）_ （b）t （c）φ （d）s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為

（a）r （b） （c）{ } （d）{ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負(fù)根，則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= ， b= ，

其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a

（ⅰ）b= 時， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1

（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1

綜上所述實數(shù)a=1 或a -1

【第2篇 高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念知識點(diǎn)總結(jié)

集合

集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的～。3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論?？低校╟antor，g.f.p.，1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。

集合，在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合

集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。

元素與集合的關(guān)系

元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。

集合與集合之間的關(guān)系

某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做φ?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性?！赫f明一下：如果集合a的所有元素同時都是集合b的元素，則a稱作是b的子集，寫作a？b。若a是b的子集，且a不等于b，則a稱作是b的真子集，一般寫作a？b。中學(xué)教材課本里將？符號下加了一個≠符號（如右圖），不要混淆，考試時還是要以課本為準(zhǔn)。所有男人的集合是所有人的集合的真子集?！?/p>

集合的幾種運(yùn)算法則

并集：以屬于a或?qū)儆赽的元素為元素的集合稱為a與b的并（集），記作a∪b（或b∪a），讀作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={_|_∈a，或_∈b}交集：以屬于a且屬于b的元差集表示

素為元素的集合稱為a與b的交（集），記作a∩b（或b∩a），讀作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={_|_∈a，且_∈b}例如，全集u={1，2，3，4，5}a={1，3，5}b={1，2，5}。那么因為a和b中都有1，5，所以a∩b={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說a∪b={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是a∩b。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數(shù)的數(shù)有多少個。結(jié)果是3，5，7每項減集合

1再相乘。48個。對稱差集：設(shè)a，b為集合，a與b的對稱差集a？b定義為：a？b=（a-b）∪(b-a)例如：a={a，b，c}，b={b，d}，則a？b={a，c，d}對稱差運(yùn)算的另一種定義是：a？b=（a∪b）-(a∩b)無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令n_是正整數(shù)的全體，且n_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數(shù)n，使得集合a與n_n一一對應(yīng)，那么a叫做有限集合。差：以屬于a而不屬于b的元素為元素的集合稱為a與b的差（集）。記作：ab={_│_∈a，_不屬于b}。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補(bǔ)集：是從差集中引出的概念，指屬于全集u不屬于集合a的元素組成的集合稱為集合a的補(bǔ)集，記作cua，即cua={_|_∈u，且_不屬于a}空集也被認(rèn)為是有限集合。例如，全集u={1，2，3，4，5}而a={1，2，5}那么全集有而a中沒有的3，4就是cua，是a的補(bǔ)集。cua={3，4}。在信息技術(shù)當(dāng)中，常常把cua寫成~a。

集合元素的性質(zhì)

1.確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個性質(zhì)主要用于判斷一個集合是否能形成集合。2.獨(dú)立性：集合中的元素的個數(shù)、集合本身的個數(shù)必須為自然數(shù)。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同于{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重復(fù)，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合a={_|_<2}，集合a中所有的元素都要符合_<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合_<2的數(shù)都在集合a中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應(yīng)的。

集合有以下性質(zhì)

若a包含于b，則a∩b=a，a∪b=b

集合的表示方法

集合常用大寫拉丁字母來表示，如：a，b，c…而對于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當(dāng)于集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：a={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內(nèi)部是具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素。

常用的有列舉法和描述法。1.列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內(nèi)﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{_|p}（_為該集合的元素的一般形式，p為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{_|0<π}3.圖示法（venn圖）﹕為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合。集合

4.自然語言常用數(shù)集的符號：（1）全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作n；不包括0的自然數(shù)集合，記作n_（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作z+；負(fù)整數(shù)集內(nèi)也排除0的集，稱負(fù)整數(shù)集，記作z-（3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作z（4）全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作q。q={p/q|p∈z，q∈n，且p，q互質(zhì)}(正負(fù)有理數(shù)集合分別記作q+q-)（5）全體實數(shù)的集合通常簡稱實數(shù)集，記作r（正實數(shù)集合記作r+；負(fù)實數(shù)記作r-）（6）復(fù)數(shù)集合計作c集合的運(yùn)算：集合交換律a∩b=b∩aa∪b=b∪a集合結(jié)合律(a∩b)∩c=a∩(b∩c)(a∪b)∪c=a∪(b∪c)集合分配律a∩(b∪c)=(a∩b)∪(a∩c)a∪(b∩c)=(a∪b)∩(a∪c)集合德.摩根律集合

cu(a∩b)=cua∪cubcu(a∪b)=cua∩cub集合“容斥原理”在研究集合時，會遇到有關(guān)集合中的元素個數(shù)問題，我們把有限集合a的元素個數(shù)記為card(a)。例如a={a，b，c}，則card(a)=3card(a∪b)=card(a)+card(b)-card(a∩b)card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(c)-card(a∩b)-card(b∩c)-card(c∩a)+card(a∩b∩c)1885年德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人康托爾談到集合一詞，列舉法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律a∪(a∩b)=aa∩(a∪b)=a集合求補(bǔ)律a∪cua=ua∩cua=φ設(shè)a為集合，把a(bǔ)的全部子集構(gòu)成的集合叫做a的冪集德摩根律a-(buc)=（a-b)∩(a-c)a-(b∩c)=（a-b)u(a-c)～（buc)=~b∩~c～（b∩c)=~bu~c~φ=e~e=φ特殊集合的表示復(fù)數(shù)集c實數(shù)集r正實數(shù)集r+負(fù)實數(shù)集r-整數(shù)集z正整數(shù)集z+負(fù)整數(shù)集z-有理數(shù)集q正有理數(shù)集q+負(fù)有理數(shù)集q-不含0的有理數(shù)集q_

【第3篇 2023高一數(shù)學(xué)集合知識點(diǎn)總結(jié)歸納

高一數(shù)學(xué)集合知識點(diǎn)總結(jié)

一．知識歸納：

1．集合的有關(guān)概念。

1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；

2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）

3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5）補(bǔ)集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ；

②若 ， ，則 ；

③若 且 ，則a=b（等集）

3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。

4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系

①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；

④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。

5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；

6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。

二．例題講解：

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}

對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）

a．m=n b．m n c．n m d．

解：

當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

【第4篇 2023年高一數(shù)學(xué)集合知識點(diǎn)總結(jié)

一．知識歸納：

1．集合的有關(guān)概念。

1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；

2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）

3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5）補(bǔ)集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ；

②若 ， ，則 ；

③若 且 ，則a=b（等集）

3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。

4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系

①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；

④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。

5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；

6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。

二．例題講解：

例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}

對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）

a．m=n b．m n c．n m d．

解：

當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為

a）1 b）2 c）3 d）4

分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。

變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為

a）5個 b）6個 c）7個 d）8個

變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1

分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。

解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

例5已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1． 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)

（a）4 （b）5 （c）6 （d）7

2．集合{1，2，3}的真子集共有

（a）5個 （b）6個 （c）7個 （d）8個

3．集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個

4．設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是

（a）cua cub （b）cua cub=u

（c）a cub= （d）cua b=

5．已知集合a={ }， b={ }則a =

（a）r （b）{ }

（c）{ } （d）{ }

6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為

{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是

（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）

（c）只有（2） （d）以上語句都不對

7．設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=

（a）_ （b）t （c）φ （d）s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為

（a）r （b） （c）{ } （d）{ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負(fù)根，則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= ， b= ，

其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a

（?。゜= 時， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1

（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1

綜上所述實數(shù)a=1 或a -1

【第5篇 高一數(shù)學(xué)集合知識點(diǎn)總結(jié)

一.知識歸納：

1.集合的有關(guān)概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。

1)子集：若對_∈a都有_∈b，則a b(或a b);

2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ，且 )

3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補(bǔ)集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ;

②若 ， ，則 ;

③若 且 ，則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運(yùn)算的性質(zhì)

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z};對于集合n：{_|_= ,n∈z}

對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設(shè)集合 ， ，則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解：

當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。

變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為

a)5個 b)6個 c)7個 d)8個

變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1

分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。

解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當(dāng) 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解

令 當(dāng) 時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

解答：

點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1. 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)

(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

2.集合{1，2，3}的真子集共有

(a)5個 (b)6個 (c)7個 (d)8個

3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有

(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個

4.設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是

(a)cua cub (b)cua cub=u

(c)a cub= (d)cua b=

5.已知集合a={ }， b={ }則a =

(a)r (b){ }

(c){ } (d){ }

6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合; (2)由1，2，3組成的集合可表示為

{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正確的是

(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

(c)只有(2) (d)以上語句都不對

7.設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=

(a)_ (b)t (c)φ (d)s

8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為

(a)r (b) (c){ } (d){ }

填空題

9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為

10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=

11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =

12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負(fù)根，則k的取值范圍是

13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。

14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，則a b=

解答題

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。

16(12分)設(shè)a= ， b= ，

其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。

四.習(xí)題答案

選擇題

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空題

9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a

(ⅰ)b= 時， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1

(ⅲ)b={0，-4}， 解得a=1

綜上所述實數(shù)a=1 或a -1